Você já pensou em quantas vezes realiza cálculos com números naturais no dia a dia? Desde somar os preços no mercado até dividir a conta em um restaurante, os números naturais estão sempre presentes. Mas será que você domina todas as operações com eles?
Os números naturais são os primeiros números que aprendemos: \({0,1,2,3,… }\). Eles representam quantidades inteiras e positivas e são usados em várias situações cotidianas. Neste artigo, vamos explorar as principais operações matemáticas com números naturais, revisando conceitos básicos e estratégias para facilitar cálculos rápidos.
O que são Números Naturais?
Os números naturais formam o conjunto:
\[ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\} \]
- Incluem o zero e todos os números inteiros positivos.
- Não incluem números negativos, frações ou decimais.
Por que são importantes?
Os números naturais são a base para aprender outras áreas da matemática, como álgebra, estatística e cálculo. Dominar as operações com eles é essencial para provas como Enem, Vestibulares e Concursos.
Operações Fundamentais com Números Naturais
1. Adição
A adição é a operação que combina duas ou mais quantidades.
Exemplo:
Letícia tinha 23 reais e recebeu mais 15 reais de seu esposo:
\[ 23 + 15 = 38 \]
Então, depois de receber 15 reais de seu esposo, Letícia ficou com 38 reais.
Propriedades da adição:
- Comutativa: \( a + b = b + a \).
- Associativa: \( (a + b) + c = a + (b + c) \).
- Elemento neutro: \( a + 0 = a \).
Demonstrações:
Comutativa da adição:
Imagine dois números, por exemplo, a = 2 e b = 4. Substituindo eles na propriedade, temos:
\[ a + b = b + a \]
\[ 2 + 4 = 4 + 2 \]
\[ 6 = 6 \]
Como \( 6 = 6 \) é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.
Associativa da adição:
Imagine três números, por exemplo, a = 2, b = 4 e c = 3. Substituindo eles na propriedade, temos:
\[ (a + b) + c = a + (b + c) \]
\[ (2 + 5) + 3 = 2 + (5 + 3) \]
\[ (7) + 3 = 2 + (8) \]
\[ 10 = 10 \]
Como \( 10 = 10 \) é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.
Elemento neutro da adição:
Imagine um número, por exemplo, a = 9. Substituindo ele na propriedade, temos:
\[ a + 0 = a \]
\[ 9 + 0 = 9 \]
\[ 9 = 9 \]
Como \( 9 = 9 \) é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.
2. Subtração
A subtração encontra a diferença entre dois números.
Exemplo:
Com 45 reais na carteira, Davi comprou um mangá de 18 reais. A diferença entre os números 45 e 18 é o valor que ficou na carteira de Davi após a compra.
\[ 45 – 18 = 27 \]
Sendo assim, Davi ainda tem 27 reais.
Relação fundamental da subtração:
minuendo – subtraendo = diferença \( \iff \) subtraendo + diferença = minuendo
A relação entre minuendo, subtraendo e diferença pode ser explicada com base na propriedade fundamental da subtração, que é o inverso da adição. A subtração é definida como:
minuendo – subtraendo = diferença
- Minuendo: É o número inicial ou total de onde será subtraída uma parte.
- Subtraendo: É a parte que será subtraída.
- Diferença: É o resultado da operação, ou seja, o que sobra após a subtração.
Exemplo:
Se \( 10 − 4 = 6 \):
- Minuendo: 10
- Subtraendo: 4
- Diferença: 6
Por que Subtraendo + Diferença = Minuendo?
Essa relação é uma consequência direta do fato de que a subtração é o oposto da adição. Ao somar a diferença e o subtraendo, você recupera o valor original do minuendo.
Demonstração:
Imagine dois números, por exemplo, 45 e 18. Com o minuendo = 45, o subtraendo = 18, e a diferença = 27, temos:
\[ 45 – 18 = 27 \iff 18 + 27 = 45 \]
Como \( 18 + 27 = 45 \) é uma sentença verdadeira, essa relação está correta.
3. Multiplicação
A multiplicação é uma soma repetida.
Exemplo:
Ao somar o número 7 seis vezes seguidas, temos:
\[ 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42 \]
\[ 6 \times 7 = 42 \]
O resultado dessa multiplicação é 42. O resultado de uma multiplicação é chamado de produto.
Propriedades da multiplicação:
- Comutativa: \( a \times b = b \times a \).
- Associativa: \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \).
- Elemento neutro: \( a \times 1 = a \).
- Propriedade distributiva: \(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \).
Demonstrações:
Comutativa da multiplicação:
Imagine dois números, por exemplo, a = 2 e b = 3. Substituindo eles na propriedade, temos:
\[ a \times b = b \times a \]
\[ 2 \times 3 = 3 \times 2 \]
\[ 6 = 6 \]
Como \( 6 = 6 \) é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.
Associativa: da multiplicação:
Imagine três números, por exemplo, a = 5, b = 4 e c = 3. Substituindo eles na propriedade, temos:
\[ (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \]
\[ (5 \times 4) \times 3 = 5 \times (4 \times 3) \]
\[ (20) \times 3 = 5 \times (12) \]
\[ 60 = 60 \]
Como \( 60 = 60 \) é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.
Elemento neutro da multiplicação:
Imagine um número, por exemplo, a = 5. Substituindo ele na propriedade, temos:
\[ a \times 1 = a \]
\[ 5 \times 1 = 5 \]
\[ 5 = 5 \]
Como \( 5 = 5 \) é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.
Propriedade distributiva da multiplicação:
Imagine três números, por exemplo, a = 2, b = 3 e c = 4. Substituindo eles na propriedade, temos:
\[ a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \]
\[ 2 \times (3 + 4) = (2 \times 3) + (2 \times 4) \]
\[ 2 \times (7) = (6) + (8) \]
\[ 14 = 14 \]
Como \( 14 = 14 \) é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.
4. Divisão
A divisão distribui uma quantidade em partes iguais.
Exemplo:
Ao dividir 48 folhas de papel entre 6 alunos, temos 8 folhas de papel para cada aluno:
\[ 48 \div 6 = 8 \]
Relação fundamental da divisão:
dividendo = divisor x quociente + resto
Essa relação é a base da divisão e é conhecida como propriedade fundamental da divisão inteira. Vamos entender em detalhes:
Os Termos da Divisão
- Dividendo: O número que será dividido.
- Divisor: O número pelo qual o dividendo será dividido.
- Quociente: O resultado inteiro da divisão.
- Resto: O que sobra após a divisão.
Quando dividimos dois números inteiros, o resultado pode ser expresso como:
dividendo = divisor x quociente + resto
- O dividendo é reconstruído somando o produto do divisor pelo quociente com o resto.
- O resto sempre será menor que o divisor.
Demonstração:
Imagine dois números, por exemplo, 50 e 3. Com o dividendo = 50, o divisor = 3, o quociente = 16 e o resto = 2, temos:
\[ 50 \div 3 = 16 \, \text{(resto } 2\text{)} \]
\[ 50 = 3 \times 16 + 2 \]
\[ 50 = 48 + 2 \]
\[ 50 = 50 \]
Como \( 50 = 50 \) é uma sentença verdadeira, essa relação está correta.
Dicas para Cálculos Rápidos
1. Estime antes de calcular: para operações com números grandes, arredonde os valores e estime o resultado.
Exemplo:
- Para \( 198 + 47 \), pense em \( 200 + 50 =250 \).
- Agora ajuste as diferenças: \( 200 – 198 = 2 \) e \( 50 – 47 = 3 \). Temos \( 2 + 3 = 5 \).
- Logo, \( 198 + 47 = 250 – 5 = 245 \).
2. Use decomposição de números: divida números em partes menores para facilitar.
Exemplo:
- Para \( 35 \times 12 \), pense em \( 12 \) como \( 10 + 2 \).
- Agora multiplique \( 35 \) por \( 10 \) e depois por \( 2 \).
- Por fim, some os resultados:
\[ (35 \times 10) + (35 \times 2) = 350 + 70 = 420 \]
3. Memorize a tabuada: saber a tabuada de multiplicação agiliza os cálculos, especialmente em divisões e frações.
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 \\ \hline 3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & 21 & 24 & 27 & 30 \\ \hline 4 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & 32 & 36 & 40 \\ \hline 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 \\ \hline 6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42 & 48 & 54 & 60 \\ \hline 7 & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70 \\ \hline 8 & 8 & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 & 72 & 80 \\ \hline 9 & 9 & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & 90 \\ \hline 10 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\ \hline \end{array} \]
Desafio para Você!
- Calcule: \( 87 + 65 – 34 \)
- Resolva: \( (25 \times 8) \div 4 \)
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