Cálculos com Números Naturais: O Básico que Faz a Diferença

Você já pensou em quantas vezes realiza cálculos com números naturais no dia a dia? Desde somar os preços no mercado até dividir a conta em um restaurante, os números naturais estão sempre presentes. Mas será que você domina todas as operações com eles?

Os números naturais são os primeiros números que aprendemos: ${0,1,2,3,… }$. Eles representam quantidades inteiras e positivas e são usados em várias situações cotidianas. Neste artigo, vamos explorar as principais operações matemáticas com números naturais, revisando conceitos básicos e estratégias para facilitar cálculos rápidos.

O que são Números Naturais?

Os números naturais formam o conjunto:

$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}$$

• Incluem o zero e todos os números inteiros positivos.
• Não incluem números negativos, frações ou decimais.

Por que são importantes?

Os números naturais são a base para aprender outras áreas da matemática, como álgebra, estatística e cálculo. Dominar as operações com eles é essencial para provas como Enem, Vestibulares e Concursos.

Operações Fundamentais com Números Naturais

1. Adição

A adição é a operação que combina duas ou mais quantidades.

Exemplo:

Letícia tinha 23 reais e recebeu mais 15 reais de seu esposo:

$$23 + 15 = 38$$

Então, depois de receber 15 reais de seu esposo, Letícia ficou com 38 reais.

Propriedades da adição:

• Comutativa: $a + b = b + a$.
• Associativa: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
• Elemento neutro: $a + 0 = a$.

Demonstrações:

Comutativa da adição:

Imagine dois números, por exemplo, a = 2 e b = 4. Substituindo eles na propriedade, temos:

$$a + b = b + a$$

$$2 + 4 = 4 + 2$$

$$6 = 6$$

Como $6 = 6$ é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.

Associativa da adição:

Imagine três números, por exemplo, a = 2, b = 4 e c = 3. Substituindo eles na propriedade, temos:

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$

$$(2 + 5) + 3 = 2 + (5 + 3)$$

$$(7) + 3 = 2 + (8)$$

$$10 = 10$$

Como $10 = 10$ é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.

Elemento neutro da adição:

Imagine um número, por exemplo, a = 9. Substituindo ele na propriedade, temos:

$$a + 0 = a$$

$$9 + 0 = 9$$

$$9 = 9$$

Como $9 = 9$ é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.

2. Subtração

A subtração encontra a diferença entre dois números.

Exemplo:

Com 45 reais na carteira, Davi comprou um mangá de 18 reais. A diferença entre os números 45 e 18 é o valor que ficou na carteira de Davi após a compra.

$$45 – 18 = 27$$

Sendo assim, Davi ainda tem 27 reais.

Relação fundamental da subtração:

minuendo – subtraendo = diferença $\iff$ subtraendo + diferença = minuendo

A relação entre minuendo, subtraendo e diferença pode ser explicada com base na propriedade fundamental da subtração, que é o inverso da adição. A subtração é definida como:

minuendo – subtraendo = diferença

• Minuendo: É o número inicial ou total de onde será subtraída uma parte.
• Subtraendo: É a parte que será subtraída.
• Diferença: É o resultado da operação, ou seja, o que sobra após a subtração.

Exemplo:

Se $10 − 4 = 6$:

• Minuendo: 10
• Subtraendo: 4
• Diferença: 6

Por que Subtraendo + Diferença = Minuendo?

Essa relação é uma consequência direta do fato de que a subtração é o oposto da adição. Ao somar a diferença e o subtraendo, você recupera o valor original do minuendo.

Demonstração:

Imagine dois números, por exemplo, 45 e 18. Com o minuendo = 45, o subtraendo = 18, e a diferença = 27, temos:

$$45 – 18 = 27 \iff 18 + 27 = 45$$

Como $18 + 27 = 45$ é uma sentença verdadeira, essa relação está correta.

3. Multiplicação

A multiplicação é uma soma repetida.

Exemplo:

Ao somar o número 7 seis vezes seguidas, temos:

$$7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42$$

$$6 \times 7 = 42$$

O resultado dessa multiplicação é 42. O resultado de uma multiplicação é chamado de produto.

Propriedades da multiplicação:

• Comutativa: $a \times b = b \times a$.
• Associativa: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.
• Elemento neutro: $a \times 1 = a$.
• Propriedade distributiva: $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$.

Demonstrações:

Comutativa da multiplicação:

Imagine dois números, por exemplo, a = 2 e b = 3. Substituindo eles na propriedade, temos:

$$a \times b = b \times a$$

$$2 \times 3 = 3 \times 2$$

$$6 = 6$$

Como $6 = 6$ é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.

Associativa: da multiplicação:

Imagine três números, por exemplo, a = 5, b = 4 e c = 3. Substituindo eles na propriedade, temos:

$$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$$

$$(5 \times 4) \times 3 = 5 \times (4 \times 3)$$

$$(20) \times 3 = 5 \times (12)$$

$$60 = 60$$

Como $60 = 60$ é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.

Elemento neutro da multiplicação:

Imagine um número, por exemplo, a = 5. Substituindo ele na propriedade, temos:

$$a \times 1 = a$$

$$5 \times 1 = 5$$

$$5 = 5$$

Como $5 = 5$ é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.

Propriedade distributiva da multiplicação:

Imagine três números, por exemplo, a = 2, b = 3 e c = 4. Substituindo eles na propriedade, temos:

$$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$$

$$2 \times (3 + 4) = (2 \times 3) + (2 \times 4)$$

$$2 \times (7) = (6) + (8)$$

$$14 = 14$$

Como $14 = 14$ é uma sentença verdadeira, a propriedade está correta.

4. Divisão

A divisão distribui uma quantidade em partes iguais.

Exemplo:

Ao dividir 48 folhas de papel entre 6 alunos, temos 8 folhas de papel para cada aluno:

$$48 \div 6 = 8$$

Relação fundamental da divisão:

dividendo = divisor x quociente + resto

Essa relação é a base da divisão e é conhecida como propriedade fundamental da divisão inteira. Vamos entender em detalhes:

Os Termos da Divisão

1. Dividendo: O número que será dividido.
2. Divisor: O número pelo qual o dividendo será dividido.
3. Quociente: O resultado inteiro da divisão.
4. Resto: O que sobra após a divisão.

Quando dividimos dois números inteiros, o resultado pode ser expresso como:

dividendo = divisor x quociente + resto

• O dividendo é reconstruído somando o produto do divisor pelo quociente com o resto.
• O resto sempre será menor que o divisor.

Demonstração:

Imagine dois números, por exemplo, 50 e 3. Com o dividendo = 50, o divisor = 3, o quociente = 16 e o resto = 2, temos:

$$50 \div 3 = 16 \, \text{(resto } 2\text{)}$$

$$50 = 3 \times 16 + 2$$

$$50 = 48 + 2$$

$$50 = 50$$

Como $50 = 50$ é uma sentença verdadeira, essa relação está correta.

Dicas para Cálculos Rápidos

1. Estime antes de calcular: para operações com números grandes, arredonde os valores e estime o resultado.

Exemplo:

• Para $198 + 47$, pense em $200 + 50 =250$.
• Agora ajuste as diferenças: $200 – 198 = 2$ e $50 – 47 = 3$. Temos $2 + 3 = 5$.
• Logo, $198 + 47 = 250 – 5 = 245$.

2. Use decomposição de números: divida números em partes menores para facilitar.

Exemplo:

• Para $35 \times 12$, pense em $12$ como $10 + 2$.
• Agora multiplique $35$ por $10$ e depois por $2$.
• Por fim, some os resultados:

$$(35 \times 10) + (35 \times 2) = 350 + 70 = 420$$

3. Memorize a tabuada: saber a tabuada de multiplicação agiliza os cálculos, especialmente em divisões e frações.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \times & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline 2 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 \\ \hline 3 & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 & 18 & 21 & 24 & 27 & 30 \\ \hline 4 & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 & 24 & 28 & 32 & 36 & 40 \\ \hline 5 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 \\ \hline 6 & 6 & 12 & 18 & 24 & 30 & 36 & 42 & 48 & 54 & 60 \\ \hline 7 & 7 & 14 & 21 & 28 & 35 & 42 & 49 & 56 & 63 & 70 \\ \hline 8 & 8 & 16 & 24 & 32 & 40 & 48 & 56 & 64 & 72 & 80 \\ \hline 9 & 9 & 18 & 27 & 36 & 45 & 54 & 63 & 72 & 81 & 90 \\ \hline 10 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\ \hline \end{array}$$

Desafio para Você!

1. Calcule: $87 + 65 – 34$
2. Resolva: $(25 \times 8) \div 4$

Deixe suas respostas nos comentários e veja como você se saiu!

Os números naturais são a base de todos os cálculos matemáticos. Dominar as operações básicas com eles é essencial para resolver problemas do cotidiano e se destacar em provas como o Enem, Vestibulares e Concursos. Continue praticando e explorando mais conteúdos no Matemática Leonel, e torne-se um mestre dos números!